Yazan: Şadi Evren ŞEKER

Ayrık logaritma daha çok soyut matematik alanında kullanılan bir işlemdir. Normal logaritma işlemi bilindiği üzere üst alma işleminin (exponent) tersidir. Örneğin doğal veya karmaşık sayılar için loga(b) logaritma gösterimi ax = b işleminin tersidir ve sonucu x değeridir. Ayrık logaritma ise doğal veya karmaşık sayılar üzerinde değil dairesel gruplar üzerinde tanımlı bir işlemdir ve bir G grubu için gx = h işleminin tersini veren işlemdir.

Ayrık logaritmaları anlamanın en kolay yollarından birisi de (Zp)×. ahenk sınıfı (congruence class) üzerindeki işlemleridir. Bir ahenk sınıfı 0 ile p-1 arasındaki ayrık sayılar kümesi olup bu küme üzerinde tanımlı olan herhangi bir işlem yine bu küme içinden bir sonuç döndürmeldir. Basitçe modulo p işlem kümesi olarak düşünülebilir ve yapılan her işlemin p tabanında modulo alındığı düşünülebilir.

Daha açık bir şekilde ayrık üst (discrete exponent) denilen işlem bir sayının verilen üst değerinin verilen modulo p için hesaplanmasıdır. Yani sayının istenilen üstü hesaplanır ve p değerine bölünür sonuç bölme işleminin kalan kısmıdır.

Örneğin (Z17)× ahenk sınıfında 34 işlemini ele alalım. Biliyoruz ki 34 = 81 ‘dir. 81 sayısının 17 sayısına bölümünden kalan değer ise 13’tür bu durumda (Z17)× ahenk sınıfı için 34 = 13 ‘tür denilebilir.

Ayrık logaritma ise bu işlemin tersidir. Örneğin 3k ≡ 13 (mod 17) denklemini ele alalım. Buradaki k değerinin 4 olduğunu biraz önce görmüştük. Ancak bu tek çözüm değildir. Örneğin 320 ≡ 13 (mod 17) denkliği de doğrudur.

Bu durum için 34+16 n ≡ 13 (mod 17) denklemi çıkarılabilir, çünkü her 16 üstte bir mod 17 için 3’ün üstleri tekrarlamaktadır.

Örnek:

2 sayısının Z29 ‘da bir ilkel kökü (primitive root) olup olmadığını bulunuz ve L2(15) ayrık logaritma değerini bulunuz.

Çözüm:

2 sayısının Z29‘da ilkel kökü bulunması, herhangi bir üstünün mod 29’da 1’e eşit olması demektir.

L2(15) değeri ise, 2 sayısı ile üretilen grubun 15 değerine sahip olduğu eleman sayısıdır. Yani 2k = 15 mod 29 için k değeridir.

Bu işlemi yapabilmek için 2 sayısının mod 29’daki bütün üstleri teker teker denenir. Örneğin:

20 mod 29 ≡ 1

21 mod 29 ≡ 2

22 mod 29 ≡ 4

23 mod 29 ≡ 8

24 mod 29 ≡ 16

25 mod 29 ≡ 32  ≡ 3

26 mod 29 ≡ 64  ≡ 6

27 mod 29 ≡ 128  ≡ 12

….

227 mod 29 ≡ 134217728  ≡ 15

228 mod 29 ≡ 268435456  ≡ 1

Yukarıdaki sayılara göre ayrık logaritması L2(15) = 27 ve ilkel kökü vardır denilebilir.

Diğer ayrık logaritma yöntemleri için aşağıdaki bağlantıları okuyabilirsiniz:

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


8 × = kırk sekiz