Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Çok kullanılan ispat yöntemlerinden birisidir. Buna göre ispatlanmak istenen kaziyenin (önermenin) tersinin yanlışlığı ispat edilirse sonuca ulaşılmış ve bir nazariye (teorem) elde edilmiş demektir.



Basit bir günlük örnek şu şekilde verilebilir. Örneğin Ali, Ahmetin kapıdan girdiğini gördü ve Ahmet’in elbiselerinin kuru olduğunu gördü. Ali yağmur yağmadığını ispatlamak için yağmurun yağdığını farz edebilir. Bu durumda “Şayet yağmur yağsaydı Ahmet’in üzeri ıslak olurdu” çıkarımını yapar. Sonuç olarak Ahmet’in üzeri kuru o halde yağmur yağmıyor çıkarımı ile yağmurun yağmadığını ispatlamış olur.


Farklı bir örnek ise √2 sayısının kesirli ifadesinin imkansız olduğunu (irrasyonel sayı olduğunu) göstermek olabilir.

Bu durumda öncelikle kaziyenin (önermenin) tersini doğru kabul etmek gerekir ve farz edelim ki √2 sayısı kesirli bir sayı olsaydı o halde

√2 = n/m şeklinde bir kesir ile ifade edilebilirdi.

Kesirli sayılarda bilindiği üzere pay ve paydadaki sayılar tam sayı olmak zorundadır. Ayrıca yine hatırlanırsa kesirli sayılarda hem pay hem de paydadaki sayı aynı tam sayıya bölünürse değer bozulmazdı. Bu durumda m ve n sayılarının aynı anda çift sayı olamayacağını kabul etmek gerekir (velev ki çift olsalardı 2 ile sadeleştirilirler ve yine çift olmayan bir sonuca ulaşılırdı)

Eşitliğin her iki tarafını n sayısı ile çarparsak eşitlik bozulmaz:

n √2 = m

Her iki tarafın karesi alınırsa yine eşitlik bozulmaz

2n2 = m2

Yukarıdaki eşitlik dikkatlice inelendiğinde  m2 ifadesi başka bir ifade olan n2 ifadesinin 2 mislidir. Bilindiği üzere bir ifade başka bir ifadenin 2 misli ise bu ifade çift sayıdır. Yani yukarıdaki örnekte bulunan m2 sayısı çift sayı olmak zorundadır.

Ancak ne yazık ki başta kabul ettiğimiz ve m sayısının tek sayı olduğu gerçeği ile bu durum tenakuza düşmektedir (çelişmektedir) çünkü hiçbir tek sayının karesi çift olamaz. Bu durumun daha doğru gösterimi aşağıdaki şekilde yapılabilir:

m sayısı çift sayı ise m=2k şeklinde yazılabilir.

o halde 2n2 = (2k)2 şeklinde önceki eşitlikte yerine konulması da doğru olmalıdır.

2n2 = 4k2 eşitliğinde her iki tarafa da 2’ye bölnürse n2 = 2k2 eşitliği elde edilir.

Bu durum ise daha önce de ifade edidliği üzere n2 sayısının çift olması demektir.Yine hatırlanırsa hiçbir tek sayının karesi çift olamaz. Ve yine hatırlanırsa aynı anda hem n hem de m çift olamaz.


Görüldüğü üzere yukarıdaki iki örnekde de öncelikle ıspatlanmak istenen kaziyenin (önermenin) tersinin doğru olduğu farz edilmiş ve bu faraziyenin yanlışlığı ispatlanmıştır. Bu yanlışlık gösterilirken de iki farklı yargı elde edilip bu yargıların tenakuza (çelişkiye) düşmelerinden faydalanılmıştır.

Unutulmamalıdır ki bu yöntemin geçerli olabilmesi için ikili mantık içinde çalışmak gerekir (yani doğru ile yanlışın birbirinin tersi olduğu mantık, 3. bir ihtimalin olmadığı mantık).

Yorumlar

  1. fatih uysal

    hocam süper ya discrete hocam elektronik mühendisi bilgisayarla alaksı yok döngü ne onu bile bilmiyor ama vizelerde sorularıda kitaptan alıyor. mecburen bende buralardan çalışıyorum elinize sağlık.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


× 5 = yirmi beş