Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimlerinin de için de bulunduğu pek çok mühendislik ve bilim disiplinlerinin kullandığı ispat yöntemlerindendir. Temel olarak mantıktaki istikra (tümevarım) yaklaşımından faydalanır.

Basitçe bir eşitliği ispatlamak için, eşitliğin her iki tarafı da birer kere ilerlettirilir (bir sonraki terimler için hesaplanır) şayet bu durum eşitliği bozmuyorsa ve eşitlik bir seri (sequence) için doğrulanabilir durumdaysa bir de başlangıç durumu ispatlanabiliyorsa bu seri eşitliği ispatlamak için yeterli bulunur.

Matematiksel indüksiyon prensibi olarak da Türkçeye çevrilen bu ispat yöntemini aşağıdaki örnek üzerinden anlamaya çalışalım:

Örneğin ispatlamak istediğimiz kaziye (önerme) şöyle olsun:

Pozitif ilk n tek sayının toplamı n2 ‘dir.

Bu iddiayı anlamak için n = 5 durumunu inceleyelim (bu adım ispatın bir parçası değildir sadece eşitliği anlamak için yapıyoruz)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (ilk 5 tek sayının toplamı)

52 = 25

dolayısıyla eşitliğimiz bu örnek için doğru çıktı. Şimdi bu eşitliği matematiksel tümevarım ile ispatlayalım. Öncelikle eşitliğin iki tarafını da n cinsinden yazmaya çalışalım.

1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2

şeklinde yazılabilir çünkü tek sayıları veren formül olarak 2n-1 terimini kullanabiliriz.  Toplam (summation) olarak gösterecek olursak aşağıdaki gösterim de doğrudur:

tektoplam

Matematiksel tümevarım için önce başlangıç adımı (basis step) belirlenir. Bu durumda pozitif tam sayılar kastedildiği için n=1 alabiliriz.

2 1 – 1  = 12 olarak bu başlangıç adımı doğrulunu ispatlamış oluruz. Bu adım önemlidir çünkü birazdan ispatımızı üzerine oturtacağımız serinin bir yerde durması gerekir ve durduğu nokta bu başlangıç noktasıdır.

Ardından istikra adımı (inductive step) gelmektedir. Bu adım için eşitliğin iki tarafı da birer terim ilerletilir:

1 + 3 + 5 + … + 2n-1 + 2n+1= (n+1)2
Yukarıdaki haliyle denklemimizin doğruluğunu ispatlamaya çalışalım. Eşitliğin sol tarafındaki 1 + 3 + 5 + … + 2n-1 ifadesinin daha önceden n2 olduğunu biliyorduk (iddia ediyorduk) öyleyse denklemi aşağıdaki hale getirebiliriz:

n2 + 2n+1= (n+1)2
Yukarıdaki yeni denklemi aritmetik olarak çözerek ispatımıza devam edelim:

n2 + 2n+1=n2 + 2n+1

0=0

totolojisine ulaşılmış olur ve eşitlik doğrudur.

Yukarıdaki örnekte görüleceği üzere herhangi bir n sayısı için eşitlik ispatlanmıştır. Buradaki önemli nokta n sayısı ile n+1 sayısı arasındaki geçiştir. Yani n sayısı hangi sayı olursa olsun (başlangıç adımımızdaki 1’den büyük ve sonsuza kadar herhangi bir sayı) eşitlik doğru çalışır.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


dokuz + 7 =