Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Temel olarak matematiksel tümevarımın kullandığı yaklaşıma benzer. Bir farkı ispatı bir seri veya seri üreten bir fonksiyon üzerinden değil de ayrı ayrı örnekler üzerine bina etmesidir.  Yani matematiksel tümevarım yönteminde aşağıdaki şekilde bir yazım mümkündür:

istikra

Burada dikkat edilirse sayıların belirli bir üretici fonksiyondan çıkması ve sonucun bir fonksiyonda toparlanabilmesi hedeflenir. Dolayısıyla toplamın bir önceki terimi veya bir sonraki terimi bir fonksiyondan çıkar. Ancak bunun mümkün olmadığı durumlarda da tüme varım kullanılabilir.

Bu durumda ispat için aslında ispatın istendiği n sayının tamamının ispatlanması ve doğru olduğunun gösterilmesi gerekir. Diğer bir anlamda aşağıdaki şekilde n’e kadar olan bütün terimler için ispat gerekir:

P(1) Λ P(2) Λ… Λ P(n)

Bu terimlerin hepsinin doğru olmasının yanında şayet P(n+1)’inde doğru olduğunu gösterebilirsek bütün sayılar için doğru olduğunu ispatlamış oluruz.

Bu ikinci teorem kapsamında kullanacağımız yöntem öncelikle n sayı için doğruluğunun ispatıdır. Ve bu n sayı için ispat sırasında k gibi 1 <k <n sayısını alıp bu kısmı ispatlamaya çalışıyoruz.

Örnek

Örneğin bütün tam sayıların asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabildiğini ispatlayalım. Yani n sayısı için n = a1 a2 … ak şeklinde k tane asal sayının çarpımı olduğunu kabul edersek bu eşitliğin doğruluğunu ispatlamaya çalışalım.

Başlangıç adımı (basis step) olarak en küçük asal sayı olan 2’yi alırsak, 2 sayısının yine kendisine eşit tek çarpanı vardır ve kaziyemizi (önermemizi) bozmaz.

İstikra adımı (inductive step) için P(n+1) durumunun doğruluğunu ispatlamamız gerekir. Burada iki ihtimal var denilebilir:

n+1 asal bir sayıdır. Bu durumda asal sayıların çarpımı olarak gösterilebilir tezimizi doğrular çünkü tek çarpanı vardır o da kendisidir.

n+1 asal bir sayı değildir. Bu durumda n+1 iki çarpan şeklinde yazılabilir (hatta bu çarpanlar en fazla eşit olabileceği (ve n+1 terimi bir kare terim (bir sayının karesi) olabileceği için ) 2 ≤ a ≤ b < n+1 şeklinde yazmak da doğrudur)

şayet n+1 asal değilse ve

n+1 = ab

şeklinde iki sayının çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu durumda

a veya b için de yukarıdaki şartlar doğrudur. Yani a veya b de birer asal sayıdır veya iki farklı sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu durum bütün sayılar çarpımlarına ayrılana kadar doğrudur.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


+ iki = 5