Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimlerinin bir çalışma alanı olan bilgisayar grafiklerinde kullanılan eğri biçimidir. Bezier eğri çiziminin özelliği parametrik olarak noktalar ile çalışmaları ve verilen noktalara göre bir eğri çizmesidir. Literatürde bézier curve veya bezier eğrisi olarak geçmektedir. İsmi bu hesaplama yöntemini ilk bulan Fransız matematikçiden gelmektedir.

Bezier eğrilerinin boyutlarından bahsetmek doğrudur. Buna göre bir bezier eğrisinin derecesi yada boyutu, bu eğriyi meydana getiren nokta sayısıyla ölçülebilir. Örneğin iki noktayı parametre alarak çalışan bir algoritmada sonuç olarak bir doğru çıkacaktır.

Bu çizim için P0 ve P1 olmak üzere iki nokta aldığımızı düşünürsek, eğrinin formülü (daha doğrusu doğrunun formülü) aşağıdaki şekilde yazılabilir

B(t) = P0 + t( P1 – P0 )

Daha açık bir ifadeyle iki noktadan birini başlangıç (P0) ve birini bitiş (P1) noktası olarak kabul edecek olursak. Bitiş noktasına giden yol üzerindeki her nokta, başlangıç noktasına eklenen ve bitiş noktası istikametindeki bir fark kadar ötelenmiş noktadır.

Bu gösterimi açacak olursak :

(1-t) P0 + t P1

Olarak yazmak da mümkündür. Bu yazılım bezier denklemleri açısından daha anlamlıdır. Bunu daha yüksek seviyeli denklemlerde anlayacağız.

Bu yazı şadi evren şeker tarafından yazılmış ve bilgisayarkavramlari.com sitesinde yayınlanmıştır. Bu içeriğin kopyalanması veya farklı bir sitede yayınlanması hırsızlıktır ve telif hakları yasası gereği suçtur.

Şimdi iki yerine 3 nokta ile teşkil edilen bir bezier eğrisini aynı mantıkla formülleştirmeye çalışalım.

Buna göre eğrimizde sırasıyla P0, P1 ve P2 noktaları olacaktır.

Yukarıdaki şekilde 3 noktadan oluşan ikinci derece eğri gösterilmiştir. Ayrıca eğrinin daha iyi anlaşılabilmesi için 3 noktayı birleştiren klavuz çizgileri de bulunmaktadır. Eğri aslında yukarıdaki iki çizginin arasında kalan şekil olup, eğrinin orjinali aşağıda açık olarak verilmiştir:

Yukarıdaki bu eğriyi elde etmek için kullanacağımız formül şu şekilde oluşturulur:

B(t) = (1-t)2 P0 +2 (1- t) t P1 + t2 P2

Yukarıdaki denklemde dikkat edilirse binom üçgenindeki (pascal triangle) bulunan katsayılar kullanılmıştır. Bunun sebebi iki bilinmeyenli ikinci derece denklem açılımı olmasıdır.

Benzer şekilde üçüncü derece bezier eğrisi için de binom üçgeninin üçüncü satırı kullanılır:

B(t) = (1-t)3 P0 +3 (1- t) 2 t P1 +3 (1-t) t2 P2 + t3 P3

Yukarıdaki denklemden de anlaşılacağı üzere t ve (1-t) değişkenlerinin 4 nokta üzerindeki dağılımları birer katsayı olarak gelmektedir. 4 nokta ile çizilebilen bezier eğrilerine aşağıda örnekler verilmiştir:

Bezier eğrilerinin bir avantajı da bu eğrilerin adım adım çizilebilmesidir. Yani eğrinin oluşturulması sırasında kesikli matematik (discrete math) kullanılabilir. Örneğin 2. Derecen olan bezier eğrisi aşağıdaki şekilde çizilebilir:

Yukarıda sadece doğrular çizilerek bir eğri oluşturulmuştur. Buradaki 3 nokta çizim alanı olan karenin 3 köşe noktasıdır ve bu noktalar kullanılarak doğru kaydırılmış ve şekilde eğri ortaya çıkmıştır.

Yukarıdaki formül binom dağılımı kullanılarak ilerletilebilir ve istenilen dereceden eğri çizimi elde edilebilir.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


7 + dört =