Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bir dairenin verilen doğru sayısıyla kaç farklı parçaya bölünebileceğini veren sayı serisidir.

1, 2, 4, 7, 11 şeklindeki sayılara, merkezi poligon sayıları ismi verilir. Bu sayılar, verilen doğru sayısına göre, bir daireyi kaç farklı şekle böldüğünü gösterir.

Örneğin yukarıdaki sayı serisini eksi olmayan tam sayılar ile birebir eşleştirirsek

0 1 2 3 4 5
1 2 4 7 11 16

Yukarıdaki gibi bir tablo elde ederiz. Bu tablodaki ilk satır kaç doğru kullandığımız, ikinci satır ise kaç parça elde ettiğimizdir. Örneğin ilk sütunda 0 doğru kullanılmış ve daire en fazla tek parçaya ayrılabilmiştir. İkinci sütunda tek bir doğru ile daire iki parçaya ayrılmıştır. 3 doğru kullanarak daire en fazla 7 parçaya ayrılabilir. Bu durumu aşağıdaki şekilde görebilirsiniz:

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere daire 7 farklı parçaya bölünmüştür.

Bu sayılara aynı zamanda, tembel pizzacı serileri (lazy caterer’s sequence) isimleri verilir. Bu ikinci isimlendirme, bir pizzacının, pizzasını en az bıçak darbesi ile en çok parçaya ayırma hevesinden gelmektedir J

Floyd üçgeninin (Floyd’s Triangle) ilk sütununu oluşturan bu seri, aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:

k = (n2 + n + 2) / 2

Bu formülün çıkarılışı ise özyineli bir denklemin (recursive equation) çözümünden gelmektedir.

Dairenin her yeni çizgi ile bölünmesini aşağıdaki şekilde formülleyebiliriz:

T(n) = T(n-1) + n

Bu denkleme göre her yeni çizgi, daha önceki çizgileri keserek o ana kadar olan çizgi sayısının bir fazlası yeni parça oluşturacaktır. Örneğin, yukarıdaki şekle yeni bir çizgi ekleyerek bu durumu görelim:

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere eklenen yeni doğru, daha önceden bulunan bütün doğrular ile kesişmelidir. Şekilde bu kesişim noktaları işaretlenmiştir. Yeni çizgi, şekle eklendikten sonra şekildeki alan sayısı 11’e yükselir. Daha önceden vâr olan 3 doğru ile kesiştikten sonra, yeni 4 alan çıkmaktadır. Dolayısıyla denklemimiz:

T(4) = T(3) + 4 , yani ilk üç doğru için oluşan alan + 4 yeni alan şeklinde özetlenebilir.

Bu denklemin çözümüne geçecek olursak:

T(n) = T(n-1) + n , denklemi yukarıdan aşağıda doğru açıyoruz (top-down approach)

T(n) = T(n-2) + n-1 + n

T(n) = T(0) + 1 + 2 + … + n , Denklemdeki T(0) değeri 1’dir çünkü daireyi kesmek için hiçbir çizgi kullanılmazsa (çizgi sayısı 0 ise) daire tek parçadır.

T(n) = 1 + 1 + 2 + … + n , Gauss’un 1’den n’e kadar olan sayıların toplamı formülünü yazarsak

T(n) = 1 + n(n+1) / 2 , toplama işlemini yaparsak

T(n) = (n2 + n + 2) / 2

Şeklinde denklemi çözmüş oluruz. Bu denklemin ve bu denklemden üretilen sayı serisinin bir diğer özelliği ise, üçgen sayılarının bir fazlası olmasıdır (triangle numbers).

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


sekiz − = 2