Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bir üçgen teşkil eden noktaların sayılarından oluşan seridir. Üçgensel sayılar olarak da isimlendirilir.

Aşağıdaki şekilde örnek olarak üçgenler verilmiştir:

Yukarıdaki örnek şekillerde görüldüğü üzere, eş kenar üçgen elde edilebilen nokta sayıları verilmiştir. Yukarıdaki sayı serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir:

1,3,6,10 …

Bu serideki her sayı, serinin kaçıncı elemanı ise, o elemanlık üçgenin oluşturulması için gereken nokta sayısını gösterir. Örneğin serinin 4. elemanı 10’dur ve 4 noktalı bir eş kenar üçgen oluşturmak için de on adet noktaya ihtiyaç duyulur.

Seriyi oluşturan formül basitçe, aşağıdaki şekilde yazılabilir:

T(n) = 1+2+3+ … +n

Bu formül, yukarıdaki şekilde, eklenen her yeni satır için, o satır sayısında nokta konulacak olmasından görülebilir. Örneğin yukarıdaki şekli devam ettirip 5 noktadan oluşan bir eşkenar üçgen elde etmek isteseydik, beş noktadan oluşan bir satır eklenecekti. Bir sonraki adımda 6 …

Yukarıdaki formül, gauss’un ardışık tam sayıların toplamı olarak düşünülebilir ve aşağıdaki şekle getirilebilir:

T(n) = n(n+1) / 2

Ayrıca özyineli denklemi (recursive equation) yazacak olursak:

T(n) = T(n-1) + n

Olarak yazılabilir. Bu formülde, n. Satır eklenmeden önceki noktaların sayısına, n adet nokta eklenmesi ele alınmıştır.

Üçgensel Sayıların bazı özellikleri

Üçgensel sayılar ayrıca kendilerine özgü bazı ilginç özellikler bulundururlar.

T(n) + T(n-1) = n2

Olduğunu göstermek isteyelim:

T(n) = T(n-1) + n

Olduğunu biliyoruz ve denklemde yerine yazıyoruz:

T(n-1) + T(n-1) + n

2 T(n-1) + n , şeklinde yazabiliriz.

T(n-1) = (n-1) (n) / 2 , olduğuna göre

= 2 n(n-1) / 2 + n , haline indirilir

= n(n-1) + n

= n2 –n + n

= n2

Olarak bulunur. Bu özellik, üçgensel sayıların birbirini tamamlayan ve bir kare oluşturan ardışık elemanlardan gelmesinden kaynaklanır.

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere T(3) ile T(4) birleştirilerek bir kare oluşturulmuştur.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


2 + = altı