Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Fermat’nın son kuramı, basitçe aşağıdaki eşitliğin doğru olduğunu iddia etmektedir.

Yukarıdaki eşitliği bırakmasına karşılık Fermat ne yazık ki bunun doğruluğunu ispatlamamış ancak ispatı yolunda önemli bir adım bırakmıştır.

Buna göre hem denklemin tarihsel sürecini inceleyelim:

Öncelikle pisagor bağlantısı ile işe başlayabiliriz (Pytogorean triples)

oldukça meşhur olan bu eşitlik, dik üçgenlerin (kaim zaviyeli müselles) kenarları arasındaki bağlantıdır ve c değeri hipotenüs olmak şartıyla:

olarak yazılabilir. Bu denklemi sağlayan Pisagor üçlülerinin (müselles) bazıları tam sayı olması hasebiyle daha kolay hesaplanır. 3,4,5 müsellesi 5,12,13 müsellesi gibi.

Pisagordan sonra benzer denklemlerle uğraşan Diofantin’i görüyourz (Diophantine) ve aşağıdaki iki eşitliği sağlayan sayıları araştırıyor:

A= x + y

B = x 2 + y 2

C = x 3 + y 3

Diğer bir deyişle Diofantin’in bulmaya çalıştığı şey, birinci ikinci veya n’inci dereceden ikililerin toplamı sonucunda çıkan değerdir yani bu denklemin çözüm kümesidir.

Örneğin yukarıdaki denklemlerden ilkini ele alalım:

A= x + y

şeklinde verilen denklem aslında birinci derece olması hasebiyle, doğrusal bir bağlantıdır (linear equation). Bu denkleme çözüm üretmesi açısından denklemi geliştirirsek:

ax + by = c şeklindeki bir denklem için çözüm kümesinin

(a,b) | c şeklinde tam böler olmaları gerektiğini söyleyebiliriz.

Farklı bir örnek olarak (9,100) ikilisini alalım. Bu iki sayı aralarında asaldır (relatively prime) (en büyük ortak böleni 1’dir). Bu durumda aşağıdaki denklem için:

9x + 100y = 1

denklemi sağlayan x ve y değerleri bulunabilir.

Örneğin x = -11 ve y = 1 veya x = 89 ve y = -8 gibi sonuçlar denklemi sağlar. Aslında modüler aritmetik ile düşünüldüğünde bu denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu söyleyebiliriz.

Diofantin denklemlerini çözerken sonsuz sayıdaki çözümü bir denklem ile göstermek daha akılcı olabilir.

Örneğin aşağıdaki denklemi çözmek isteyelim:

6x + 9y = 21

(6,9) | 21 koşulu sağlanmaktadır (6 ile 9’un en büyük ortak böleni 3’tür ve 3|21 durumu sağlanmaktadır). Bu durumda hızlı bir çözüm ile +7 ve -7 değerleri için aşağıdaki denklemler yazılabilir:

x = 3k – 7

y = -2k + 7

Örneğin k = 5 için x = 8 ve y = -3 çözümleri bulunur.

Fermanın Kabulü

Fermat, yukarıdaki tarihsel gelişimden sonra herhangi bir kesirli sayı k için aşağıdaki eşitliğin olabileceğini kabul etimiştir:

k2 = u2 + v2

eşitlikte bulunan u ve v değerlerini de kesirli sayılar olarak kabul eder.

Örneğin k = 4 için u = 16/5 ve v = 12 / 5 değerleri bulunabilir:

Çözüm için izlenebilecek bir yol üstler ile biraz değişiklik yapmaktır:

denklemi iki kare farkı şeklinde yazılabilir :

Yukarıdaki çarpma işleminin iki terimden ibaret olduğunu düşünürsek,

olarak yazılabilir. Denklemde bulunan y ve z değerlerinin çözümü için yerine yazma yöntemini kullanırsak (substitute):

yukarıdaki iki ihtimalin çözümünden de aşağıdaki durum elde edilebilir:

Yukarıdaki denklemde bulunan sayıların kesirli sayılar olduğunu hatırlarsak, yukarıdaki denklemi daha fazla ilerletemeyiz. Ancak n sayısı bir tek asal sayı olmak şartıyla, aşağıdaki denklemi elde edebiliriz:

Ayrıca biliyoruz ki n sayısını herhangi bir tek asal sayı bölemezse, n sayısı bir çift sayıdır (bütün tek sayıların, tek asal sayıların çarpımı veya kendisi şeklinde yazılabileceğini hatırlayınız)

şeklindeki gösterim ile iktifa ediyoruz ve Fermat’nın bu denkleme bir çözümü olmadığını ancak tek asal sayılar için doğruluğunu göstermekle yetiniyoruz.


Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


5 + yedi =