Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bu yazının amacı, masfuf derecesini (matrix rank, matris sırası) açıklamaktır. Konunun detayına geçmeden önce belirtmek isterim ki, matris derecesi terimi ingilizce (matrix degree, veya degree of a matrix) terimleri ile karışmaya pek müsaittir. Bu terimler de çeşitli disiplinlerde farklı anlamlara gelebilmektedir.

Ağ Kuramı (Network Theory) için Matrisin Derecesi (Degree of Matrix):

Örneğin ağ (networking) çalışan veya şekil kuramı (graph theory) çalışan birisi, genelde şekil bilgilerini, bir masfuf (matrix) üzerinde kodlamaya alıştığı için komşuluk matrisi (adjacency matrix) tutulmaktadır. Bu tip bir matriste dereceden bahsedildiği zaman, genelde en fazla sayıdaki komşu kast edildiği için matriste bulunan en büyük değer kastedilir.

Matrisin Derecesi (Sırası, Rank of a Matrix)

Bir masfufun a x b boyutlarında (satır / sütun) olduğunu kabul edelim. Bu masfufu aslında b adet elemanı olan a adet yöneyden (vector) ibaret düşünebiliriz.

Bu şartlar altında verilen bir masfufun derecesi (rank of matrix), doğrusal olarak bağımsız kolon yöneylerinin (coloumn vectors) sayısı kadardır.

Yukarıdai tanımı şu şekilde de değiştirebiliriz: Bir masfufun derecesi (rank of matrix), doğrusal olarak bağımsız satır yöneylerinin (row vectors) sayısı kadardır.

İki tanımda doğrudur çünkü doğrusal olarak bağımsız olma (linearly independt) şartlarından birisi zaten iki yöney (vector) arasında sayısal bir çarpan bulunmamasıdır.

Diyelim ki bir masfufun (matrix) bütün satır yöneyleri (row vectors) birbirinden zaten bağımsız (dolayısıyla sütun yöneylerinin (coloumn vectors) de bağımsız olduğunu söyleyebiliriz). Bu durumda alabileceği azami derece (maximum rank) aşağıdaki şekilde hesaplanır:

a x b boyutundaki bir matris için (yukarıdaki koşulla)

r < c ise, r

r > c ise, c

değerindedir.

Bir matrisin sırası (rank) en az 1 olabilir, yani bütün satır ve sütunları birbirinin tam katı olsa bile en az 1 olması mümkündür. Şayet bir masfufun derecesi (sırası, rank) sıfır ise, bu masfufta hiç eleman yok demektir.

Masfufun Derecesinin (Rank of Matrix) Hesaplanması

Bir masfufun derecesini hesaplarken, masfufun satır kademe dönüşümünden (row echelon transformation) istifade edilmektedir.

Şayet elimizdeki masfuf, satır kademe masfufuysa (row echelon matrix) bu durumda bu masfufun sıfırdan faklı olan satır sayısı, derecesini (rank) verir.

Örneğin aşağıdaki masfufu ele alalım:

0 1 2
1 2 1
2 7 8

Bu masfufun satır kadame dönüşümü (row echelon transformation) yapıldığında, aşağıdaki masfuf bulunur:

1 2 1
0 1 2
0 0 0

Yukarıdaki bu masfufun sıfırdan farklı iki satırı bulunmaktadır (birinci ve ikinci satırları) bu durumda bu masfufun derecesi (matrix rank) ikidir denilebilir.

Yukarıdaki bu durumun, matrisin ilk halindeki Satır3 = 3 x ( Satır1 ) + 2 x (Satır2) denklemini sağlıyor olmasından kaynaklandığını söyleyebiliriz.

Masfufların Tam Derecesi (Full Rank Matrices)

Şayet bir masfufun bütün satır ve sütunları birbirinden doğrusal olarak bağımsızsa (linearly independent) bu duruma bu masfufa tam teree ismi verilir. Bir masfufun tam derecesi satır sayısı ve sütun sayısından küçük olanıdır.

1 0 2
2 1 0
3 2 1

Örneğin yukarıdaki masfuf tam derecedir (full rank matrix) ve derecesi 3’tür.

 

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


− bir = 1