Yazan: Şadi Evren ŞEKER

Bu yazının amacı, kademe matrisin (echelon matrix) açıklamaktır. Bu yazı kapsamında kademe matrisinin yanında bir matrisin nasıl kademe dönüşümü (echelon transformation) yapıldığı, satır kademe şekli (row echelon form) ve indirilmiş satır kademe şekli (reduced row echelon form) konuları da açıklanacaktır.

Sırasıyla başlayalım. Bir masfufun (matrix, matris) satır kademe şeklinde kabul edilebilmesi için aşağıdaki özellikleri taşıması gerekir:

  • Her satırın ilk kolonu (soldan sağa doğru okuyoruz) 1 olmalıdır
  • Her satırın ilk kolonu bir üst satırdan daha sağda olmalıdır.
  • Şayet tamamen sıfırlardan oluşan satırlar varsa, bu satırlar en altta bulunmalıdır.

Örnek bazı kademe masfufları aşağıda verilmiştir:

1 2 3 4
0 0 1 3
0 0 0 1

 

1 2 3 4
0 0 1 3
0 0 0 1
0 0 0 0

 

1 2
0 1
0 0

 

Görüldüğü üzere, bütün örnek matrisler, yukarıdaki üç kuralı da sağlamaktadır.

Bazı kaynaklarda kademe masfufu tanımlanırken farklı tanımlar yapılabilmektedir. Genel tanım yukarıda yapıldığı gibi olmasına karşılık bazı kaynaklarda ilk elemanın 1 olması zorunluluğundan bahsedilmez.

İndirgenmiş Kademe Masfuf Şekli

Reduced row echelon form (rref) olarak geçen terim aşağıdaki koşulları gerektirir:

  • Kademe masfuf olma koşulunu sağlamalıdır (yukarıdaki 3 kural)
  • Bir satırın ilk elemanı, kolondaki sıfırdan farklı tek eleman olmalıdır.

Örnek indirgenmiş kademe masfuflar aşağıda verilmiştir:

1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

 

1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

 

1 0
0 1
0 0

Kadame Masfufuna Dönüştürme (Row Echelon Matrix Transformation)

Dönüştürme işlemi sırasında temel satır işlemleri kullanılır (elementary row operations). Genelde izlenen yol aşağıda adım adım verilmiştir:

  1. Masfuf Kerteriz edilir (Pivot the matrix)
    1. Kerteriz değerimiz, ilk kolonda, sıfırdan farklı ilk elemandır.
    2. Satır değiştirme ile kerteriz satırı, ilk satıra taşınır.
    3. Kerteriz değerimizi 1 yapmak için kerteriz satırımızdaki bütün elemanlar kerteriz değerinin (satırın ilk değeri) tersi ile çarpılır.
    4. Kerteriz değerimizin olduğu kolondaki bütün satırları 0 yapmak için kerteriz satırı, diğer satırlardan çıkarılır.
  2. Kerteriz işlemi, masfuf, kademe masfufu olana kadar tekrarlanır.
    1. Yukarıdaki 4 adım ile, ilk satırın ilk kolonunu kademe matris için yeterli duruma getirdik, bu satır yok kabul edilir
    2. Yukarıdaki 4 adım, ilk satırı yok kabul edilen yeni masfuf için tekrar edilir.
  3. İlave olarak indirgenmiş kademe masfufu elde etmek için aşağıdaki adımlar yapılabilir:
    1. Yukarıdaki işlemler tamamlandıktan sonra, kerteriz değeri 1 olan son satırı kerteriz satır olarak alırız (daha aşağıda sıfırlardan oluşan satırlar olabilir, bu satırlar işlem dışıdır)
    2. kerteriz satırın katları daha yukarıdaki satırlara eklenerek kerteriz değerin kolonundaki diğer kolon değerleri sıfırlanır.
    3. Matriste yukarı hareket edilerek (seçtiğimiz kerteriz satırının bir üstündeki satırı seçerek) işlemler tekrarlanır.

Örnek olarak aşağıdaki masfufu dönüştürmek isteyelim:

0 1 2
1 2 1
2 7 8

Yukarıdaki bu dönüşüm için adımları takip ediyoruz, öncelikle ilk kolonda, sıfırdan farklı ilk satırı alıyoruz (ki 121 satırıdır) Bu satırı ilk satıra taşıyoruz:

1 2 1
0 1 2
2 7 8

Ardından bu kolondaki tek sıfırdan farklı değer ilk satır olması için diğer satırlar sıfırlanıyor. Şu anda ilk kolonda sıfırdan farklı değer sadece son satırda var, bu satır 2 ile başlıyor, öyleyse ilk satırımızı 2 ile çarpıp son satırdan çıkarırsak son satırın ilk kolonu 0 olacaktır:

1 2 1
0 1 2
0 3 6

Şu haliyle ilk kolon için problem çözüldü. Şimdi ilk satırı yokmuş gibi masfufu küçültüyoruz:

1 2 1
0 1 2
0 3 6

 

1 2
3 6

Sanki masfuf yukarıda verildiği gibi kabul edilip bu küçük halini aynı adımlardan geçireceğiz. İlk satırındaki ilk kolon değeri 1, bu kolondaki tek sıfırdan farklı değer bu satırda olacağına göre 3 ile çarpıp, alttaki satırdan çıkarmamız yeterlidir:

1 2
0 0

Sonuçta, son satırda 0 oluştu. Yukarıdaki bu küçük matrisi, orjinal matrisin içine geri yerleştiriyoruz:

1 2 1
0 1 2
0 0 0

Neticede elde ettiğimiz masfuf, satır kademe masfufudur. Şayet devam edip indirgenmiş satır kademe masfufunu (reduced row echelon matrix) elde etmek istersek 3 grup adımları da işlememiz gerekir.

1 2 1
0 1 2
0 0 0

Bu durumu ihlal eden tek satır, ilk satırdır, çünkü ikinci satırdaki 1 değerinin bulunduğu kolonda, ilk satırda 2 bulunmaktadır. (İndirgenmiş kademe masfufu olabilmesi için her 1 ile başlayan satırın ilk değerinin bulunduğu kolonda tek sıfırdan farklı değerin bu sayı olması gerektiği koşulunu hatırlayınız)

Yapılacak işlem basittir, ikinci satırı 2 ile çarpıp ilk satırdan çıkarırsak, ikinci kolondaki tek sıfırdan farklı değer ikinci satırda olacaktır:

1 0 -3
0 1 2
0 0 0

Sonuç olarak yukarıdaki masfuf, indirgenmiş satır kademe masfufudur (reduced row echelon matrix).

Önemli Uyarı:

Bir masfufun satır kademe dönüşümü sonucu farklı işlemlerle farklı çıkabilir. Yani yukarıdaki örnek masfufta farklı sırada işlemler yapılsaydı farklı satır seçimleri yapılsaydı v.s. bu durumda farklı sonuç çıkabilirdi. Ancak bir matrisin indirgenmiş kademe satır masfuf (reduced row echelon matrix) hali tektir. Hangi sıra ile işlem yapılırsa yapılsın, hangi satırlar seçilirse seçilsin sonuç aynı çıkacaktır.

 

Yorumlar

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


× yedi = 14