Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bu yazının amacı, olasılık teorisine (probability theory) giriş yapmaktır.

Temel olarak 3 farklı yaklaşımdan bahsetmek mümkündür:

  1. Gerçekleşme ihtimallerine göre olasılık tanımı.

  2. Olayların sıklıklarına göre olasılık tanımı.

  3. Düsturlara (axioms) göre olasılık tanımı.

Bu üç yaklaşım birbirinden farklıdır. Basit bir şekilde ilk iki tanımı anlatarak başlayalım.

Örneğin bir torbadan top çektiğimizi düşünelim. Torbanın içerisindeki topların renklerini ve sayılarını bildiğimiz halde, çektiğimiz topun örneğin mavi gelme olasılığını sorguluyorsak, bu durumda birinci maddedeki gerçekleşme ihtimalini inceliyoruz demektir (outcome). Şayet torbanın içindeki topları bilmiyor ancak çektiğimiz toplara bakarak, torbanın içerisindeki topların sayılarını tahmin etmeye çalışıyorsak bu durumda da gerçekleşen olayların sıklıklarına (frequency) bakarak bir tahmin yapıyoruz demektir ki buna istatistik (statistics, sayımlama) demek mümkündür.

Bu ilk iki maddeyi bir örnek üzerinden anlatmaya çalışalım. Örneğin elimizde bir bozuk para bulunsun ve bu bozuk parayı iki kere atıyor olalım. Sonuçlar aşağıdaki ihtimaller kümesi şeklinde gösterilebilir:

{YY,YT,TY,TT} , Y = yazı, T = tura olacak şekilde.

Şimdi bu ihtimallerden örneğin en az bir atışta yazı gelme ihtimalini inceleyecek olursak ki bu ihtimali gösteren küme aşağıdaki şekildedir:

{YY,YT,TY}

Yapılması gereken işlem iki kümenin eleman sayılarını bölmektir. Yani ¾ sonucu bulunur.

Daha literatüre uygun bir şekilde yazarsak, bütün ihtimalleri gösteren sayı genelde N olarak ifade edilir. Herhangi bir olayın gerçekleşmesi halindeki sayı ise nE olarak gösterilir. Yukarıdaki bütün ihtimalleri tutan ilk kümenin eleman sayısı N olarak gösterilebilir. Bu durumda olasılık hesabı nE/N olarak yapılacaktır ve aşağıdaki P fonksiyonu ile gösterilir:

P[en az bir yazı gelmesi] = 3 / 4

Burada birinci olasılık yaklaşımının iki problemi bulunmaktadır:

  1. Atılan paranın dengeli olduğunu kabul ediyoruz

  2. Sonsuz deneme yapılması gibi durumlarda paydanın sonsuz olması ve dolayısıyla belirsizlik durumu söz konusu olabilir

Şayet ikinci yaklaşımımız olan sonuçlara bağlı olarak bir istatistik elde etme beklentimiz olsaydı bu durumda olasılık hesabımız aşağıdaki şekilde olacaktı:

bu denklemden anlaşılacağı üzere, olasılık hesabımız, herhangi bir olayın (event) sonsuz denenmesi sonucunda tam olarak doğru değeri verir. Örnğein yazı tura atılması sırasında tek bir denemeye bakılacak olursa olasılık değeri ya %100 yazı ya da %100 tura gelecektir. Dolayısıyla deney sayısı arttırılarak sonuç kesinleştirilebilir. Örneğin sonsuz yazı tura atmılması sonucunda, olasılık %50 oranında çıkacaktır.

Buraya kadar açıklanan ilk iki yaklaşım kümeler teorisine (set theory) dayanmaktadır.

Üçüncü yaklaşımımızda ise olasılık kuramı düsturlara (axiom) bağlıdır. Buna göre olasılık teorisinde 3 temel düstur (axiom) bulunmaktadır ki bunları ilk defa yayınlayan kişinin ismi verilerek Kolomogorov aksiyomları (düsturları) ismi de verilmektedir. Bu düsturlar herkes tarafından doğruluğu kabul edilen ve gösterilmesi basit eşitliklerdir. Bu anlamda malum bilgi (a priori) olarak adlandırılabilirler.

A, bütün olayları içeren evrensel kümenin herhangi bir alt kümesi (arbitrary subset) olmak şartıyla

  1. P[A] >= 0

  2. P[E] = 1

  3. P[A+B] = P[A] + P[B] , şayet AB = {} ise

Yukarıdaki 3 temel düsturdan, olasılık teorsinin geri kalan bütün kuralları çıkarılabilir. Ancak öncelikle bu üç temel düsturu gösterelim ve herkes tarafından kolaylıkla kabul edilen basit kavramlar olduğunu gösterelim.

P[A] olasılığı, herhangi bir alt küme için verilmiştir. Bu durumda alt kümeler, boş kümeden {} başlayarak bütün elemanları içermektedir. Dolayısıyla bir alt kümenin eleman sayısı 0’dan başlamakta ve 0’dan büyük sayılardan oluşmaktadır.

Daha önce yazdığımı aşağıdaki formül gereği:

buradak A olayının değeri için nA >= 0 denilebileceğine göre olasılık değeri de 0’dan büyük olacaktır.

İkinci düstura gelince:

olarak yazılabileceğine göre ve E olayı, evrensel küme olduğuna göre, nE= N olacağından P[E] = 1 olacaktır.

Son olarak üçüncü düsturu bir şekil çizerek göstermemiz mümkündür.

Yukarıdaki şekilde A kümesi Mavi + Sarı alan ve B kümesi de Kırmızı + Sarı alan olarak yazılabilir.

Buna göre

olarak yazılabilir.

Şimdi iki kümenin oranını yazmak istersek:

olacaktır. Yukarıdaki iki olasılığı da toplayacak olursak:

şeklinde önceki bulduğumuz P[A+B] yerine yazılabilir

olarak yazılabilir çünkü sarı/E iki kümenin kesişimidir.

Sonuçların tarafları değiştirilecek olursa aşağıdaki sonuç elde edilir

Burada iki kümenin kesişiminin boş küme olması durumunda P[A+B] = P[A] + P[B] sonucu elde edilecektir.

Yukarıdaki tanımlardan üçüncüsü olan düstur gösterimi (axiom) oldukça önemlidir çünkü bu üç düsturdan, olasılık teorisinde bulunan diğer bütün kurallar çıkarılabilir.

Örnek 1

Örneğin olduğunu göstermek isteyelim (yani boş kümenin olasılık değerinin 0 olduğunu)

olarak yazılabilir.

İlave olarak olduğuna göre olmalıdır denilebilir.

Görüldüğü üzere 3. düsturdan faydalanarak ispat yapılmıştır.

Örnek 2

Farklı bir örnekte olduğunu göstermek isteyelim.

Öncelikle küme teorisinden faydalanarak aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:

(bu durum bir çizim yapılarak kolayca görülebilir)

Bu durumda P[A] için aşağıdaki durum yazılabilir:

olarak yazılabilir çünkü bu iki kümenin kesişimleri boş kümedir ve 3. düstur kullanılabilir. Yukarıdaki eşitlikte taraflar değiştirilirse aşağıdaki sonuç elde edilecektir:

eşitliği ıspatlamak istediğimiz sonucu vermiştir.

Örnek 3

Bu sefer ispatlanmak istenen eşitlik aşağıdaki şekilde olsun:

şeklinde olsun.

Küme teorisinden (set theory) yani bir kümenin kendisi ve tersinin birleşimi evrensel kümeyi verir denilebilir.

Şeklinde 3. düstur kullanılarak yazılabilir.

Sonucu ispatlanmış olacaktır.

Örnek 4

Bir zar atma olayında, A = 1 gelme olayı ve B = 2 veya 3 gelme olayı olarak tanımlanıyor olsun. A veya B olayının gerçekleşme olasılığı nedir?

Şeklinde üçüncü düsturumuzu yazarsak iki kümenin kesişimi boş küme olacağına göre

olarak bulunacaktır.

Örnek 5

Bir zar atma olayında A = 1 veya 2 gelmesi, B = 2 veya 3 gelmesi olarak tanımlanıyor olsun. Bu durumda A veya B olaylarının gerçekleşme ihtimali sorulduğunda aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

olarak bulunacaktır.

Görüldüğü üzere 3 temel düstur kullanarak olasılık teoreminde bulunan diğer bütün kurallar çıkarılabilir veya ispatlanabilir. Bu düsturlar herkesin kolayca kabul edeceği temellere dayanmaktadır ve yukarıda gösterimleri yapılmıştır. Ayrıca pratik örnekler üzerinde de bu düsturlar kullanılarak olasılık hesaplanması mümkündür.


Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir


altı − 4 =